Общий вид и решение через дискриминант

В общем виде квадратное уравнение выглядит так:

Например, в этом уравнении a = 3, b = 5, c = 2:

Как правило, квадратное уравнение предлагается школьнику затем, чтобы он нашел его корни, т.е. значения Х, при которых уравнение обращается в верное равенство.

Любому школьнику должен быть знаком способ решения квадратного уравнения через дискриминант. Согласно этому способу сначала находится величина, называемая дискриминантом:

После того, как дискриминант вычислен, возможны три варианта.

1) Если дискриминант D больше нуля, то уравнение имеет два разных корня - X1 и X2.

В этом случае корни вычисляются по формулам:

Или иногда пишут так:

2) Если дискриминант D равен нулю, уравнение имеет один корень Х, который вычисляется по формуле:

Правда, на самом деле это небольшое упрощение. Уравнение с дискриминантом равным нулю, имеет два равных корня, но поскольку корни равны, то часто говорят и пишут, что корень один.

3) Если же дискриминант D меньше нуля, то уравнение не имеет вещественных корней (и именно это нужно написать в ответе).

Решение через дискриминант - универсальный способ. Им можно решить любое квадратное уравнение. Но в некоторых ситуациях быстрее и удобнее решать другими способами.

Неполные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть неполным. В этом случае b или c (или и то, и другое) равны нулю. Например:

Эти уравнения тоже можно решать через дискриминант. Не смущайся, что в формулу придется подставлять нули.

Но обычно неполные квадратные уравнения решают иначе. Рассмотрим пример:

Вынесем Х за скобки:

Произведение будет равно нулю, когда один из множителей равен нулю. То есть уравнение обращается в верное равенство, когда:

1) X = 0,

2) X - 9 = 0, откуда следует, что X = 9 .

Корни уравнения: X1 = 0, X2 = 9.

Разберем другой пример:

Переносим -16 в правую часть уравнения (не забыв поменять знак на противоположный):

Отсюда:

Квадратных корней из 16, как известно, два: 4 и -4. Это и есть корни уравнения: X1 = 4, X2 = -4.

Из примеров видно, что неполные квадратные уравнения решаются двумя способами:

1) вынесением Х за скобки,

2) перенесением числа С в правую часть уравнения (со сменой знака!).

Приведенные квадратные уравнения

Квадратное уравнение может быть приведенным. В этом случае A=1. Например:

Общий вид приведенного квадратного уравнения:

Обратите внимания, что в приведенном квадратном уравнении коэффициенты обозначаются не a и b, а p и q. Это важно, не путайте.

Такие уравнения тоже можно решать через дискриминант (при этом a=1), но для них существует и другой способ решения: по теореме Виета.

Эта теорема гласит:

Зная эти соотношения, можно подобрать такие числа, которые будут корнями уравнения. Но для этого нужно не ошибаться при счете в уме. :)

Кстати, запомнить теорему Виета помогает вот такой стишок:

Познакомили поэта
С теоремою Виета.
Оба корня он сложил,
минус p он получил,
а корней произведенье
дает q из уравнения.

Приведение квадратного уравнения

"Приведение" от слова "привёл". Не путай с привидением. :)

Обычное квадратное уравнение вида

можно сделать приведенным, если разделить все три члена (aX2, bX и c) на a. Тогда (и только тогда!) уравнение можно будет решать по теореме Виета. Имеет смысл приводить уравнение, если b и c делятся на a нацело (без остатка). Если же без остатка не делятся, то лучше решать через дискриминант.

Заключение

Теперь, набравшись знаний о квадратных уравнениях, вы можете отправляться в специальную комнату для квадратных уравнений нашего "Тренажерного зала" и отработать навыки их решения.