Тема: Математический язык. Математическая модель
Урок: Числовые и алгебраические выражения
Числовые выражения – это те выражения, которые составлены из чисел и знаков арифметических операций – сложения, вычитания, умножения, деления.
Пример 1
 .
Это числовое выражение, которое необходимо упрощать.
Рассмотрим ещё несколько примеров числовых выражений.
Пример 2
 ,
 ,
 .
При замене некоторых чисел буквами образуется алгебраическое выражение. При замене двух чисел буквой получается выражение  . Первое слагаемое – это  , второе слагаемое – это  . В результате образуется алгебраическое выражение. В этом алгебраическом выражении буквенные переменные (так как они могут принимать разные значения) обозначают различные числа. Числа могут быть целыми, дробными, положительными, отрицательными. Таким образом, алгебраические выражения базируются на работе с числовыми выражениями.
Правило: от перемены мест слагаемых сумма не меняется – справедливо для чисел 4 и 5, для чисел 6 и 1. Если обобщить этот закон для всех чисел, то его можно записать в алгебраическом виде: обозначим первое слагаемое - , второе – . В результате получаем:
 .
Значит данное правило применимо для алгебраических выражений.
Пример 2
,
,
.
При замене некоторых чисел буквами образуется алгебраическое выражение. При замене двух чисел буквой получается выражение . Первое слагаемое – это , второе слагаемое – это . В результате образуется алгебраическое выражение. В этом алгебраическом выражении буквенные переменные (так как они могут принимать разные значения) обозначают различные числа. Числа могут быть целыми, дробными, положительными, отрицательными. Таким образом, алгебраические выражения базируются на работе с числовыми выражениями.
Правило: от перемены мест слагаемых сумма не меняется – справедливо для чисел 4 и 5, для чисел 6 и 1. Если обобщить этот закон для всех чисел, то его можно записать в алгебраическом виде: обозначим первое слагаемое - , второе – . В результате получаем:
.
Значит данное правило применимо для алгебраических выражений.
Получаем, что для алгебраических выражений числовые выражения являются частным случаем. Поэтому действия с числовыми выражениями применимы и к алгебраическим выражениям. Рассмотрим несколько примеров на числовые выражения.
Пример 3
 .
Решение:
Проведем группировку: сложим первое число с третьим, а второе с четвертым.
 .
В результате получаем:
 .
Ответ:  .
Пример 4
Найти значение выражения  при:  .
Решение:
Это выражение является алгебраическим. В данном случае число и число – буквенные переменные, которые могут принимать любые значения. Значит, необходимо вычислить данное алгебраическое выражение при некоторых, конкретных заданных значениях буквенных переменных – это одна из стандартных задач для алгебраических выражений.
Подставим значения переменных, получим числовое выражение и вычислим его.
1)  .
Ответ:  .
2) Поступаем аналогично, подставляя вместо буквенных переменных их численные значения:  .
Ответ:  .
3) Аналогично:  .
Ответ:  .
Повторим основные действия с числовыми выражениями для дальнейшего решения алгебраических примеров.
Пример 5
Найти значение выражения:
Решение:
Обозначим все, что стоит в первой скобке за  (буквенная переменная состоит из конкретных числовых данных). Второе выражение обозначим за  , а все, что стоит в знаменателе, обозначим за  .
Все искомое выражение обозначим за  .
Для вычисления , необходимо сначала вычислить , разделить его на и разделить на :
Перегруппируем слагаемые в выражении :
 .
Найдем значение второй скобки:
 .
Вычислим значение  :
 .
Найдем значение начального выражения:
Ответ:  .
При решении мы пользовались правилами порядка арифметических действий, а также правилами: от перемены мест слагаемых сумма не меняется ( ); от перемены мест множителей произведение не меняется ( .
Особенностью алгебраического выражения является то, что не всегда буквы могут принимать произвольное значение. Есть такое понятие – допустимые значения букв и недопустимые значения букв. Рассмотрим на конкретном примере:
Пример 6
Найти допустимые и недопустимые значения  : 
Решение:
Данное выражение является арифметическим. В соответствии с алгебраическими законами данное выражение не имеет недопустимых значений, так как любое число можно возвести в квадрат.
Ответ:  – любое.
Пример 7
Найти допустимые и недопустимые значения для выражения .
Решение:
Так как на ноль делить нельзя (а на остальные числа можно), то допустимыми значениями являются любые числа, кроме  :  .
Ответ: .
Пример 8
Найти допустимые и недопустимые значения для выражения  .
Решение:
Для решения опять необходимо учесть, что знаменатель не может равняться , так как на делить нельзя:
 .
Ответ:.
Пример 9
Найти допустимые и недопустимые значения для выражения  .
Решение:
Знаменатель не может равняться , так как на делить нельзя:
Ответ: .
Пример 10
Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения  .
Решение:
Знаменатель не может равняться , так как на делить нельзя:
Ответ:.
Необходимо запомнить, что если выражение стоит в знаменателе, то оно не должно быть равно . Это накладывает определенные ограничения на значения буквенной переменной. Рассмотрим ещё один пример на нахождение допустимых и недопустимых значений переменной.
Пример 11
Найти допустимые и недопустимые значения  для выражения:  .
Решение:
Знаменатель не должен быть равен :
Значит:  или  .
Ответ:.
Мы рассмотрели числовые и буквенные выражения. Кроме того, мы рассмотрели связь между числовыми и буквенными выражениями. Также на данном уроке были озвучены правила работы с арифметическими выражениями, которые остаются верны и для алгебраических.
На следующем уроке мы повторим правила работы с числовыми выражениями и с натуральными числами.
| 
